いいえ。
フリートライアルと製品版のクライアントは同じものですので、フリートライアルのクライアントを、アンインストールする必要はありません。

フリートライアルでプレイしたキャラクターを、製品版へ引き継ぐ場合は、以下のURLをご確認の上、お手続きください。

https://www.finalfantasyxiv.com/freetrial/#description3